«(...) não importa se a matemática é inventada ou se é simplesmente descoberta no mundo que nos cerca; mais significante é cada criança, cada homem e mulher ser educado para amar a matemática, tal como amámos o primeiro livro que conseguimos ler sozinhos.»
Em Infinito + 1 (Edições Sílabo)
Gerir objetos, o espaço e o tempo - Frações
«A mãe da Ana pediu-lhe para arrumar as gavetas da secretária onde realiza os TPCs. A criança encontrou um monte de lápis de cor antigos, fora de caixa, no fundo de uma das gavetas. Contou-os: eram 39. Agarrou neles e procurou a mãe, que estava na sala.
– Mãe, quero guardar para mim uma parte deste molho de lápis, e quero dar o resto à Joana e à Francisca.
– Em partes iguais para as três?
– Sim, em partes iguais.
– Então – prosseguiu a mãe –, vais dar-lhes dois terços dos lápis. Sabes quanto é?»
As frações são um conceito significativo: representam um tipo especial de número, resultante da divisão de (geralmente) um número menor por um maior. A escrita 2 : 3 é uma operação, enquanto é um número. Foram os Egípcios que tiveram a ideia de escrever verticalmente este tipo de número, mas sem o traço que é agora corrente, o qual foi introduzido no século XIII pelo matemático italiano Leonardo de Pisa.
As frações «contam» partes de um objeto, de um todo; expressa metade de uma maçã por exemplo, a qual pode ser concebida como um objeto composto por duas partes iguais, ou três partes, quatro, cinco… Na fração , o número 2 é o numerador (parte fracionária) e 3 é o denominador (parte inteira); o denominador indica que estamos a lidar com terços, com o todo dividido em três partes iguais, e o numerador (2) refere o número de terços em consideração; o número lê-se «dois terços».
O termo fração deriva do Latim, da palavra fractus, que significa «fraturado», «partido».
Gerir objetos, o espaço e o tempo - Álgebra
«O Paulo, aborrecido com o que está a dar na TV, decide estimular intelectualmente o filho, sentado ao seu lado e agarrado à consola de videojogos.
– Miguel, pensei num certo número. Ao dobro desse número subtraí 4 unidades e obtive 18. Em que número pensei?»
A certa altura da História o desenvolvimento da matemática chegou à encruzilhada de tornar a aritmética mais abrangente e útil. Sabia-se, por exemplo, que um cilindro com 15 cm de altura e uma base com um diâmetro de 10 cm tem um volume de 1177,5 cm3, dado pela multiplicação de 3,14 ( ) por metade de 10 ao quadrado e por 15. E se fosse um cilindro com uma altura de 20 cm e uma base com 20 cm de diâmetro? Era necessário memorizar o método aritmético usado no primeiro caso e transferi-lo para o segundo. Nada prático… Haverá modo de facilitar a tarefa?
Sim, pensando numa fórmula geral aplicável a qualquer cilindro, quaisquer alturas e diâmetros. Como o simbolizaríamos? Com letras:
As letras r (raio da base) e a (altura do cilindro) podem converter-se numa infinidade de números, e este passo para um conceito abstrato de número desembocou na álgebra, o domínio da matemática de manipulação de símbolos. A álgebra, porém, não trata somente de números arbitrários, trata de forma e estrutura, das propriedades das expressões simbólicas, como a equação
2x - 4 = 18
Uma equação é uma igualdade ou equivalência entre quantidades, onde figura pelo menos uma variável ou incógnita, representada por uma letra; é uma balança equilibrada, em que o peso num prato (2x - 4) é igual ao peso no outro (18).
Descobrir o valor de x, isolando-o, é muito fácil. Começamos por nos «livrar» do número 4; o que fizermos num prato repetimos no outro, para manter a balança nivelada:
2x - 4 + 4 = 18 + 4
2x + 0 = 18 + 4
2x = 22
Como conhecer um valor a partir do seu dobro? Dividindo por 2:
1x = 11
x = 11 , o número em que o Paulo pensou.
O termo álgebra deriva de uma palavra árabe, al-jabr, contida no título do primeiro livro sobre o assunto, al-Kitāb al-mukhtaṣarfīḥisāb al-jabrwa-l-muqābala, da autoria de Muhammad al-Khwarizmi; al-jabr significa restauração ou completação, e refere-se a «adicionar a mesma quantidade aos dois lados» no procedimento para simplificar equações.
