«(...) não importa se a matemática é inventada ou se é simplesmente descoberta no mundo que nos cerca; mais significante é cada criança, cada homem e mulher ser educado para amar a matemática, tal como amámos o primeiro livro que conseguimos ler sozinhos.»
Em Infinito + 1 (Edições Sílabo)
A «sorte» no dia a dia
Resolver problemas envolvendo probabilidades e cálculo combinatório
O que é a probabilidade?
A probabilidade é algo que nos afeta todos os dias, muitas vezes sem notarmos. Devo levar o guarda-chuva? É boa ideia atender o telemóvel enquanto conduzo? Qual é a melhor hora para ir ao centro comercial?
Coloquialmente, a probabilidade é uma indicação de até que ponto podemos esperar que um acontecimento se concretize. Por exemplo, a probabilidade de a próxima pessoa a entrar no café onde nos encontramos ser do sexo masculino é 50% – é uma «coisa» de duas possíveis: 100% (o todo) : 2 (possibilidades) = 50%.
Na matemática, a definição de probabilidade é mais rigorosa:
A probabilidade do acontecimento X é a razão (quociente) entre o número de casos favoráveis a esse acontecimento e o número de casos possíveis.
Então, a probabilidade de uma pessoa ser do sexo masculino é
A probabilidade varia entre 0 (acontecimento impossível) e 1 (acontecimento único ou inevitável, por exemplo tirar uma bola castanha de um saco só com bolas castanhas).
«No final da tarde de domingo a família Marques está reunida à volta do tabuleiro de um jogo que envolve o lançamento de dois dados em simultâneo, ambos com as faces numeradas de 1 a 6. O Paulo, sabendo que o Miguel já conhece a ideia de probabilidade, decide explorar o assunto no momento em que a criança se prepara para lançar os dois dados.
– Miguel, espera… Se lançares só um dado, qual é a chance de sair a face com o número 1?
– Como há seis números possíveis, é uma em seis.
– Correto. Um sexto [1/6] ou 16,6%. E a probabilidade de sair 2?
– É igual – responde o Miguel. – Um sexto.
– Sim, cada número tem a mesma probabilidade de sair, num dado equilibrado, claro! Agora, uma questão mais difícil. Qual é a probabilidade de sair 6 e 3 – o Paulo enfatiza o e – ao lançares dois dados?
– Um sexto mais um sexto?... – replica a criança com notória hesitação.
– Parece fazer sentido, não é? Mas, na realidade, é um sexto vezes um sexto [1/6 x 1/6], ou seja, uma hipótese em trinta e seis [1/36]. Repara que está em causa um único acontecimento: sair 6–3. – O Paulo junta as suas mãos. – Se, em vez de lançares dois dados ao mesmo tempo, lançasses apenas um dado mas duas vezes seguidas, a probabilidade de sair 6 e depois 3 [ou vice-versa] continuava a ser 1/36.
– Resumindo – remata a Carla –, para saberes a probabilidade de dois resultados simultâneos [6 e 3] ou consecutivos [6 e a seguir 3], multiplicamos as probabilidades de cada situação acontecer individualmente.»
Testemos conhecimentos:
- Atirando uma moeda duas vezes seguidas, qual é a probabilidade de sair cara e cara? E a probabilidade de não sair cara-cara?
A probabilidade de sair cara-cara é 1/2 x 1/2 = 1/4, 1 (caso favorável) em 4 (casos possíveis: cara-cara, cara-coroa, coroa-coroa, coroa-cara). A probabilidade de não sair é
- Lançando duas moedas ao mesmo tempo, qual é a probabilidade de sair só uma cara?
Não é 1/4, pois é um caso diferente de (tal como seria se uma moeda fosse lançada duas vezes seguidas). Assim, a probabilidade de sair só uma cara é
P (só uma cara) = P (cara-coroa) + P (coroa-cara) = 1/4 + 1/4 = 1/2 (50%)
Caros amigos e amigas,
Como podemos saber o número de casos possíveis numa experiência como o lançamento simultâneo de três dados com as faces numeradas? Ou jogar numa slot machine com três rodas e os mesmos seis símbolos em cada roda?
Quanto aos dados, podemos elaborar uma lista dos resultados possíveis,
1-1-1
1-1-2
1-1-3
…
o que, reconheçamos, é tremendamente maçador.
Uma outra via é o raciocínio matemático. Quantas possibilidades de resultado existem num dado? Seis (seis números). E quantos eventos, oportunidades ou posições temos para um resultado? Três (três dados). Então, o número de casos possí-veis é
Se a experiência fosse retirar três bolas de um saco com seis bolas numeradas de 1 a 6, poderíamos realizar o mesmo raciocínio para saber quantos casos são possíveis?
Não...
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