«(...) não importa se a matemática é inventada ou se é simplesmente descoberta no mundo que nos cerca; mais significante é cada criança, cada homem e mulher ser educado para amar a matemática, tal como amámos o primeiro livro que conseguimos ler sozinhos.»
Em Infinito + 1 (Edições Sílabo)
Quando a ordem importa: arranjos e permutações
«– Não Miguel – afirma o Paulo –, não podes fazer 10 x 10 x 10 para saber quantos arranjos são possíveis para o pódio [3 primeiros lugares] de uma corrida com 10 participantes. Pensa comigo: quantas hipóteses [pessoas] há para o 1º lugar?
– Dez – responde a criança.
– Uma das possibilidades é a Maria, supondo que uma das participantes tem esse nome, ficar em 1º lugar. Agora, quantas hipóteses há para a 2ª posição?
– Nove.
– Claro. A Maria já não está disponível, é um elemento que não se repete na segunda posição do arranjo. Então, temos a Maria e, digamos, o João no 1º e 2º lugares da corrida. Quantas possibilidades sobram para o último lugar do pódio?
– Sobram oito. E já sei que conta fazer – exclama o Miguel, visivelmente satisfeito consigo próprio –: 10 x 9 x 8.
– Certíssimo. Existem 720 arranjos possíveis para um pódio de uma competição com dez elementos. Repara que se trata das formas de escolher X elementos de um conjunto de Y elementos, em que a ordem interessa e os elementos não se repetem. – O Paulo faz uma pequena pausa para clarear a voz. – Assim, a probabilidade de os três primeiros da corrida serem, por exemplo, a Maria, o João e a Paula é de 1 em 720.
– OK, pai, já percebi isto. Falaste sempre em arranjos. São a mesma coisa que permutações?
– Não, são situações ligeiramente diferentes.»
Um problema fácil
Quando a ordem não importa: combinações
«O Paulo tem uma sobrinha que atingiu a maioridade e lhe perguntou se faz sentido jogar o totoloto. Depois de investigar um pouco, o Paulo enviou um email à sobrinha com o seguinte conteúdo:
Olá Marisa, bom dia.
Pediste a minha opinião sobre as hipóteses de ganhar com o totoloto. A informação está disponível na net e vou tentar explicá-la de forma clara.
Inicialmente eram sorteadas 6 bolas de um conjunto de 49, numeradas de 1 a 49. Imagina que marcavas no boletim os números 2, 5, 9, 14, 28 e 45. Era indiferente a ordem de saída dos números; o que interessava era que saísse um 2, um 5, etc. Deste modo, antes de cair a primeira bola, tinhas 6 hipóteses em 49 de sair um dos números que escolheste. Depois dessa bola havia 5 hipóteses em 48 (bolas que sobravam) de acertares, e assim sucessivamente. A probabilidade de acertares nos seis números era
São 13 983 816 as combinações possíveis de 6 elementos de um “universo” de 49. Matematicamente escreve-se ;
significa, de 49 escolher/saírem livremente 6. Há uma fórmula geral para calcular o número de combinações:
Para perceberes o ponto de exclamação [que representa o "factorial"], exemplifico com «10 C 4», ou o número de maneiras de escolher/apanhar 4 bolas de um saco com 10 bolas:
Em 2011, as regras do totoloto mudaram.»
Outro problema
