«(...) não importa se a matemática é inventada ou se é simplesmente descoberta no mundo que nos cerca; mais significante é cada criança, cada homem e mulher ser educado para amar a matemática, tal como amámos o primeiro livro que conseguimos ler sozinhos.»
Em Infinito + 1 (Edições Sílabo)
Matemática na vida pessoal e familiar
Resolver problemas que envolvem a gestão do espaço e do tempo, medidas, conversões, números negativos, potências e notação científica
«– Multiplicar, dividir… Já estou farta de tantas contas! – desabafou a Ana depois de um TPC particularmente trabalhoso.
– Sabes – replicou a mãe –, são poucos os dias em que não precisamos dessas contas. Quanto custam três pacotes de bolachas a 0,9 € cada? Se copiares uma página de um livro em 5 minutos, quantas copiarás em meia hora de trabalho? Tendo 12 pratos de sopa, 13 pratos rasos e 15 copos, quantos lugares completos posso dispor na mesa de jantar?...»
Existem situações que obrigam a conhecer diferentes múltiplos ou divisores de dois ou mais números, os quais, como veremos, têm de ser decompostos em números primos.
Um número primo é um número com dois divisores apenas: ele próprio e o 1. São exemplos de primos os números 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,… Os outros números (excluindo o 0 e 1) são compostos, como o 12, que é o resultado de 2 x 6, 3 x 4 ou 2 x 2 x 3 por exemplo, logo, possui mais de dois divisores (1, 2, 3, 4, 6 e 12). Como descobrir os divisores primos de um número composto, por exemplo 45?
Dividiu-se 45 pelo menor número primo possível, o 3 (45 não é divisível por 2), e posicionou-se o resultado (15) sob o dividendo. Então, dividiu-se 15 pelo menor número primo possível, 15 : 3 = 5, e colocou-se o 5 sob o número 15. Prossegue-se este algoritmo até chegar ao quociente 1, que «fecha» a coluna da esquerda. Assim,
que é uma forma de revelar que os números primos 3 e 5 dividem 45. Que utilidade tem este conhecimento?
[ Nota: os conceitos de potência e expoente, importantes para este tema, são tratados aqui . ]
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«O Miguel, ansioso, sentou-se ao lado do pai segurando nas mãos o caderninho, a cheirar a novo, onde começara a registar os ganhos e gastos de cada mês.
– Pai, olha. Este mês comprei um jogo por 25 euros e uns chocolates que me custaram 7 euros. Como a minha mesada é de 30 euros, escrevi a conta 30 - 25 - 7. Trinta menos vinte e cinco dá cinco. Fica ainda a conta 5 - 7. Sete é maior que cinco! É… um absurdo.
– Parece, não é? – respondeu o pai – mas os matemáticos deram a volta a este problema, com um novo tipo de número.»
Os números negativos possibilitam a subtração de um número por outro maior, por exemplo 2 – 3; foram criados para que pudéssemos escrever o resultado do cálculo 2 – 3 como um número, –1.
Os números negativos surgiram pela primeira vez por volta de 200 a.C., na China; representavam o valor de uma compra, de um saldo ou uma dívida. O primeiro a mencionar números negativos num trabalho de matemática foi o grego Diofanto de Alexandria (viveu no século III), ao abordar equações que resultariam em números negativos, como 2x + 20 = 12. Mais tarde, no século VII, o matemático indiano Brahmagupta redigiu regras para a adição, subtração, multiplicação e a divisão de números negativos, por exemplo «o produto ou quociente de dois débitos [valores negativos] é um ganho [valor positivo]».
Nos séculos XV e XVI os matemáticos europeus começaram a estudar e a utilizar os números negativos, no que se destacou o polímata italiano Girolamo Cardano (1501 – 1576). Os números negativos integraram plenamente o sistema numérico «ocidental» no século XIX.
«O Miguel esteve ao telemóvel com o avô. Excitado, abeirou-se do pai:
– O avô disse que, se eu resolvesse um certo problema matemático, me daria em euros metade de um por cento da solução!
– Qual é o desafio? – perguntou o pai.
– Tenho de usar o número 2 no resultado do problema. – O Miguel leu o papel onde o escrevera: – Se uma população de dois ratinhos duplicar a cada mês, quantos ratinhos existirão ao fim de 11 meses?
– Que conta tens de fazer?
– Já fiz: 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2, que dá 4096. Como é que ponho aqui o número 2?...
A criança pensou um pouco e o seu rosto iluminou-se ao lembrar-se de um conceito que aprendera no início do ano letivo.»
As potências consistem na notação matemática inventada para simplificar a representação de multiplicações em que os fatores são iguais. Poupamos esforço e tempo redigindo no lugar de 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2; é a potência, o número 2 é a base (fator que se repete) e 12 é o expoente (número de vezes que o fator se repete) – diz-se que 2 está elevado a 12.
Algumas propriedades das potências:
[Foi o famoso Arquimedes quem provou esta regra, no livro O Contador de Areia.]
(Qualquer número elevado a 1 é igual a si mesmo)
Qualquer potência de expoente zero é igual a um:
